Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Fungsi Eksponen

1.      Hitunglah :

2.      Sederhanakanlah:

3.      Sederhanakanlah:

4.      Tentukan penyelesaian persamaan:

5.      Tentukan penyelesaian persamaan:

6.      Jika x₁ dan x₂ memenuhi persamaan dibawah ini, maka nilai x₁ dan x₂ adalah :

7.      Manakah pernyataan di bawah ini yang bukan termasuk fungsi eksponen?

(a). y = f(x) = 2^x

(b). y = f(x) = 1,5^x

(c). y = f(x) = x^x

(d). y = f(x) = e^x

(e). y = f(x) = 1^x

Penyelesaian :

(a). y = f(x) = 2^x (fungsi eksponen)

(b). y = f(x) = 1,5^x (fungsi eksponen)

(c). y = f(x) = x^x (bukan fungsi eksponen)

(d). y = f(x) = e^x (fungsi eksponen)

(e). y = f(x) = 1^x (fungsi eksponen)

8.      Jika seseorang menabung uang di suatu Bank sebesar Rp. 200.000,- untuk jangka waktu tertentu dengan bunga majemuk 40% per tahun. Maka jumlah uangnya setelah t tahun adalah … (Tulis bentuk persamaannya)

Penyelesaian :

Misalkan jumlah tabungan adalah M dengan suku bunga majemuk I pertahun, maka jumlah uangnya setelah t tahun (Mt) adalah

Mt = M(1 + I)^t.

Hal ini berarti setiap bunga yang didapat pada setiap akhir tahun digabungkan pada tabungan semula (modal), sehingga pada akhir tahun berikutnya memberikan bunga pula. Hal ini berarti, bahwa nilai simpanan orang tersebut dalam ribuan rupiah, pada akhir

Tahun 1 adalah 200(1 + 0,40) = 200(194) = 280

Tahun 2 adalah 280(1,40) = 200(1,40)(1,40) = 200(1,14)² = 3,92

Tahun 3 adalah 392(1,40) = 200(1,40)(1,40)(1,40) = 200(1,40)³ = 548,8

Tahun n adalah 200(1,40)(1,40) … (1,40) = 200(1,40)ⁿ.

Jadi secara umum tabungan orang tersebut dapat kita tulis dalam bentuk fungsi lama simpanan n tahun dengan persamaan :

n = 200(1 + 0,40)ⁿ = 200(1,40)ⁿ

9.      Intensitas suatu cahaya untuk setiap meternya di bawah permukaan air laut berkurang 3,5%, dengan kedalaman k. Tulis bentuk persamaannya!

Penyelesaian :

Persentase cahaya di permukaan yang menembus ke dalam laut dapat kita tulis sebagai fungsi dari kedalaman k dengan satuan meter dalam bentuk persamaan :

p = 100(1 - 0,035)^k atau p = 100(0,965)^k

10.  Gambarlah grafik fungsi eksponen f(x) = 2^x dengan x € R.

Penyelesaian :

(1) Titik-titik pada grafik

Untuk mempermudah menggambarnya, terlebih dahulu kita pilih beberapa titik yang terletak pada grafik tersebut dengan membuat tabel seperti berikut ini.

Titik potong dengan sumbu y : f(0) = 2⁰ = 1. Grafik memotong sumbu y di titik (0,1). Selanjutnya dengan mengambil beberapa harga x di sebelah kiri dan sebelah kanan x = 0, kita dapatkan beberapa titik yang terletak pada grafik. Ternyata untuk x maka y , dan untuk x - ternyata y 0.

(2). Asimtot-asimtotnya

Titik potong dengan sumbu x : jika grafik memotong sumbu x, maka y = f(x) = 0 berarti 2^x = 0. Ini adalah hal yang tidak mungkin sebab 2^x > 0 untuk x € R. Hal ini berarti grafik fungsi tidak pernah memotong sumbu x.

Asimtot tegaknya tidak ada, sebab untuk x ternyata y .

Asimtot datarnya = 0, sebab untuk x - ternyata y 0.

(Didefinisikan, bahwa asimtot sesuatu garis lengkung adalah garis lurus yang semangkin didekati garis lengkung itu, sehingga dapat diambil suatu titik pada garis lengkung itu yang jaraknya pada garis lurus dapat dibuat sekecil-kecilnya. Sedangkan secara aljabar, asimtot suatu garis lengkung dapat didefinisikan sebagai garis singgung pada garis lengkung di tempat tak berhingga).

(3). Daerah asal dan daerah hasil

Karena 2^x terdefinisi untuk setiap x R, maka daerah asalnya (domainnya) adalah R, yaitu himpunan semua bilangan real (- , ). Kemudian, karena 2^x tidak pernah nilainya nol atau negatif, dan karena terdapat satu nilai x untuk setiap nilai 2^x yang positif, maka daerah hasilnya (rangenya) adalah himpunan semua bilangan real positif ( 0 , ).